Algebra és számelmélet 5 (matematika tanárszak) – 2024 ősz

Az Algebra és számelmélet 5 a téma utolsó kurzusa a tanárképzés során. Persze, nem azért az utolsó, mert utána már nem lenne mit elmondani: nagyon sok apró részletnek az elmondására már menetközben sem jutott idő, és mind az algebrának, mind a számelméletnek számos olyan területe van, ahova még el sem jutottunk. De ennyi bevezető már mindenkit képessé tesz arra, hogy ha akar, elmélyedjen a téma irodalmában. Ehhez kiindulásképpen ajánlhatjuk a két alaptankönyvet, Kiss Emil algebrakönyvét, illetve a Freud–Gyarmati-féle Számelméletet: ezek egyaránt alkalmasak az elmélyülésre és az újabb területek bemutatására is. Az utolsó félév jellegzetessége, hogy a tantárgy két nagy témaköre még jobban összefonódik: számelmélet és algebra egymástól elválaszthatatlanul jelenik meg a tárgyalt anyagban. Hiszen pl. a diofantikus egyenletek megoldásában megjelennek algebrai módszerek, s az algebrában is megjelennek számelméleti fogalmak. Bár az idő ezt valószínűleg már nem fogja engedni, lassan bekopogtat az analízis is egy-egy témánál (pl. a haladó számelméletnek pótolhatatlan eszköze a komplex függvénytan, de ez már valóban meghaladja a lehetőségeinket).

Előadások

Íme a várható főbb témakörök:

kvadratikus maradékok;
magasabb fokú kongruenciák, primitív gyök;
továbi diofantikus egyenletek és a Gauss-egészek számelmélete;
a maradékos osztás és a SZAT általános (kommutatív) gyűrűkben;
faktorgyűrűk és testek konstrukciója, véges testek;
néhány tétel a prímszámelméletből;
prímszámok és titkosírás.

Az előadásra járni nem kötelező, de remélhetőleg hasznos. Ugyanakkor a gyakorlatokon – amiken viszont elvileg kötelező a részvétel – az előadás anyagát fogjuk földolgozni, de arra biztos nem lesz lehetőség, hogy az ott elhangzottakat a gyakorlaton teljes egészében megismételjük. Az előadásokról rövid kivonat fölkerül a honlapra, és valószínűleg az előadás kézzel írt vázlatait is fölteszem a honlapomra. Az anyag nagy részéről van anyag a két alaptankönyv valamelyikében is.

Gyakorlatok

A gyakorlatokon rendszerint a hét elején elhangzott előadás anyagához kapcsolódó feladatsorok lesznek kiosztva, de ezek megtárgyalása általában elhúzódik még a következő hétre is. Általában az órán meg nem beszélt feladatok mindegyike házi feladat, melyek egy részét a következő héten még megbeszéljük. Néhány kijelölt feladatból esetenként beadandó házi feladat lesz (ezekről a honlapomról és a Canvas-felületről lehet majd tájékozódni, és a Canvasra kell majd feltölteni a megoldásokat). A gyakorlatnak fontos feladata az aktív tudás megszerzése: ehhez aktív közreműködésre van szükség mindenki részéről. Fontos tehát, hogy lehetőleg mindenki fölkészülten üljön be a gyakorlatokra: lehetőleg átnézze az aktuális előadás anyagát, illetve rendszeresen próbálja megoldani a feladatsoron föladott feladatokat.

Számonkérés

A félév során a gyakorlat és az előadás anyagából egyetlen jegy keletkezik: ez lényegében a gyakorlati jegy és a vizsgajegy számtani közepe (valamilyen kerekítéssel).

A gyakorlaton szerezhető pontok

A gyakorlatra összesen 100 pontot lehet kapni az alábbiak szerint:

A félév során két évfolyam-ZH-t fogunk írni várhatólag a hetedik és a tizenharmadik héten (október 22-én és december 10-én) az előadás idején, melyekben hat feladat lesz; ezekre összesen 72 (= 2 × 36) pontot lehet kapni. A 12 pontot el nem érő dolgozat elégtelennek minősül. A félév végén az elégtelen (vagy meg nem írt) dolgozato(ka)t javítani/pótolni kell. A félév során így megszerezhető pontok száma maximum 72.
Minden gyakorlaton igyekszem a hallgatói részvételt értékelni, így a gyakorlatonként több értékes hozzászólással jelentkező hallgató alkalmanként 1, kivételes esetben 2 pontot kaphat. A félév során így megszerezhető pontok száma maximum 10.
Egy-két kivételtől eltekintve minden második héten lesz egy beadandó házi feladat. Hogy pontosan mi a beadandó, az általában a gyakorlat alapján dől el, és a honlapomra kerül föl a gyakorlatot követően, általában péntek estig. Igyekszem ugyanezt az információt a gyakorlatok Canvas felületére is föltenni. A megoldásokat a következő héten szombat éjfélig kell föltölteni a Canvasra. Minden feladat megoldására 0, 1 vagy 2 pontot lehet szerezni, kéthetente tehát maximum 2-t. A félév során így megszerezhető pontok száma maximum 10 = 5 × 2.
Minden második alkalommal írunk egy maximum 5-10 perces röpdolgozatot, rendszerint óra végén, az aznapi gyakorlat anyagából, módszereiből. A dolgozat pontszáma 0, 1, vagy 2. A félév során így megszerezhető pontok száma maximum 10 = 5 × 2.
A gyakorlaton megszerezhető pontoktól függetlenül egy-egy korábban még nem megbeszélt, nehezebb feladatmegoldás tábla előtti szép, rendezett prezentálásáért vagy írásban való beadásáért kapható feladatonként 2 pont. A félév során így megszerezhető pontok száma maximum 4.
A félév során, ha a körülmények ezt lehetővé teszik, a félév második felétől kezdve lehet jelentkezni ún. projektmunkára. Ennél két-három fős csoportoknak kell egy-egy témát valamilyen módon földolgozniuk, s arról órán vagy órán kívül számot adni. A részletekről még megállapodunk a gyakorlaton. A félév során így megszerezhető pontok száma maximum 4.

A fölsorolt lehetőségek 100-nál több pont kiosztását teszik lehetővé, de a végső jegybe maximum 100 pont számít bele. A meg nem írt vagy elégtelenül megírt dolgozatokat a félév végén (az első vizsgahéten) lehet pótolni. Más javításra nincs lehetőség (bár javítás céljából a fönti lehetőségek közül egy-két ,,szorgalmi feladat''-ra a félév végén még lehet jelentkezni). A félév legalább elégséges teljesítésének feltétele

mindkét ZH-ból legalább 12 pont megszerzése;
a további lehetőségek közül legalább 10 pont megszerzése;
összesen legalább 40 pont megszerzése a félév során.

A gyakorlatról vitt osztályzat a vizsgára:

0-39 pont: nem bocsátható vizsgára
40-46 pont: 2
47-53 pont: 2/3
54-60 pont: 3
61-67 pont: 3/4
68-74 pont: 4
75-81 pont: 4/5
82-88 pont: 5
89-95 pont: 5/6
96-100 pont: 6

A vizsga menete

A félév végén a gyakorlat feltételeit sikeresen teljesítők szóbeli vizsgán vehetnek részt. A vizsga pontos menetét még később megbeszéljük, mindenesetre a vizsgákon a félév során szerepelt fogalmak (definíciók és példák), valamint a tételek és bizonyításaik számonkérésére kerül sor valamilyen formában. A félév végén lesz egy lista az elvárt bizonyításokról.