Algebra és számelmélet 5 – gyakorlat (matematika tanárszak) – 2024 ősz

A gyakorlatok anyaga

1. hét

• 1. feladatsor
• Az 1. feladatsor megoldásai
• 1. heti házi feladat: beadandó a Canvason 2024. szeptember 21-én, szombaton 23.59-ig:
  
  1. Határozzuk meg, kvadratikus maradék-e a 99 modulo 101.
  2. Határozzuk meg a modulo 101 vett kvadratikus maradékok szorzatát mint maradékosztályt (azaz az eredmény is egy maradékosztály).
• Az 1. heti házi feladat megoldásai
• LEHETSÉGES TÉMÁK BESZÁMOLÓRA:
  1. A 2 kvadratikus karaktere (FGY 4.2.1, 4.2.2)
  2. A kvadratikus reciprocitási tétel (FGY 4.2.3)
  3. A Jacobi-szimbólum (FGY 4.3)

2. hét

• 2. feladatsor
• A 2. feladatsor megoldásai

3. hét

• 3. feladatsor
• A 3. feladatsor megoldásai
• 3. heti házi feladat: beadandó a Canvason 2024. október 5-én, szombaton 23.59-ig:
  
  1. Oldjuk meg az x¹⁶≡1 (mod 59) kongruenciát.
  2. Határozzuk meg a modulo 101 vett kvadratikus maradékok indexeinek szorzatát (ez egy természetes szám).
• A 3. heti házi feladat megoldásai

4. hét

• 4. feladatsor
• A 4. feladatsor megoldásai

5. hét

• 5. heti házi feladat: beadandó a Canvason 2024. október 19-én, szombaton 23.59-ig:
  
  1. Bontsuk Gauss-prímek szorzatára a (-30+60i) Gauss-egészet.
  2. Hány olyan egészekből álló (a,b) számpár van, melyre a>b>0, és a²+b²=1800?
• LEHETSÉGES TÉMÁK BESZÁMOLÓRA:
  1. A háromnégyzetszám-tétel egyik iránya (FGY 4.5.2)
  2. A négynégyzetszám-tétel (FGY 4.5.3-4.)
• Az 5. heti házi feladat megoldásai

6. hét

• 1. zárthelyi dolgozat
• 5. feladatsor
• Az 5. feladatsor megoldásai

7. hét

• 6. feladatsor
• A 6. feladatsor megoldásai
• 7. heti házi feladat: beadandó a Canvason 2024. november 9-én, szombaton 23.59-ig:
  
  1. Mutassuk meg, hogy a páratlan nevezőjű törtek a racionális számoknak egy részgyűrűjét alkotják, ami azonban nem ideál Q-ban. Mik lesznek az invertálható elemek ebben a részgyűrűben?
  2. Igazoljuk, hogy az előző feladatban szereplő gyűrű (a páratlan nevezőjű törtek gyűrűje) euklideszi gyűrű. (Útmutatás: Nézzük meg, a 2-nek hányadik hatványával osztható a számláló.)
• A 7. heti házi feladat megoldásai

8. hét

• 7. feladatsor
• A 7. feladatsor megoldásai
• LEHETSÉGES TÉMÁK BESZÁMOLÓRA:
  1. A SZAT teljesülésének szükséges és elégséges feltétele: a feltételek szükségessége (K 5.5.8)
• BEADHATÓ SZORGALMI FELADATOK:
  1. Mutassuk meg, hogy a Z[√-5] gyűrűben nem teljesül a számelmélet alaptétele.
  2. Mutassuk meg, hogy ha S olyan részgyűrű R-ben, ami nem ideál, akkor az S szerinti mellékosztályokon szokásos módon értelmezett szorzás nem független a reprezentánsoktól.

9. hét

• 8. feladatsor
• A 8. feladatsor megoldásai
• 9. heti házi feladat: beadandó a Canvason 2024. november 23-án, szombaton 23.59-ig:
  
  1. Főideál lesz-e Z[x]-ben (2x+3,3x+2)?
  2. Legyen G a Gauss-egészek gyűrűje. Hány eleme van a G/(2) faktorgyűrűnek? Adjuk meg a mellékosztályok egy-egy reprezentánsát G-ben.
• A 9. heti házi feladat megoldásai

10. hét

• 9. feladatsor
• A 9. feladatsor megoldásai

11. hét

• 11. heti házi feladat: beadandó a Canvason 2024. december 7-én, szombaton 23.59-ig:
  
  1. Legyen f(x)=x²+1∈Z₃[x], és legyen α gyöke az f polinomnak F₉-ben. Határozzuk meg az α multiplikatív rendjét.
  2. Keressünk olyan elemet F₉-ben, amelynek a mutiplikatív rendje 8 (írjuk föl az elemet az előző részben α-val jelölt elem kifejezéseként).

12. hét

• 2. zárthelyi dolgozat
• 10. feladatsor