1. Magasabb fokú diofantikus egyenletek és
kongruenciák. Kvadratikus maradékok. Másodfokú binom
kongruenciák. Kvadratikus maradékok és kvadratikus nemmaradékok. A mod
p kvadratikus maradékok, illetve nemmaradékok jellemzése, számuk.
Mely prímekre nézve lesz a (-1) kvadratikus maradék?
Legendre-szimbólum. Elemi tulajdonságok, multiplikativitás. Mely prímekre
nézve lesz a 2 kvadratikus maradék (NB)? Kvadratikus reciprocitási tétel
(NB). Számolás a Legendre-szimbólummal.
Az 1. előadás kézzel írott jegyzete.
A kvadratikus reciprocitási tétel alkalmazása annak eldöntésére, mely
prímekre nézve lesz a 3 kvadratikus maradék. Alkalmazás a
Dirichlet/tétel speciális esetére: végtelen sok 12k-1 alakú
pozitív prímszám van. Ehhez segédtétel: egy 12c2-1
alakú szám minden prímosztója 12k+1 vagy 12k-1 alakú, és
kell lennie 12k-1 alakú prímosztónak.
2. Magasabb fokú kongruenciák, primitív gyök. Elemek rendje
csoportokban, elemrend Zp multiplikatív
csoportjában. Emlékeztető néhány alaptuajdonságra. Primitív gyök
modulo m: generátoreleme a Zm multiplikatív
csoportjának. Mikor létezik primitív gyök: 2-re, 4-re, páratlan prím
hatványaira és ilyenek kétszeresére (NB). Modulo p létezik
primitív gyök, azaz Zp multiplikatív csoportja
ciklikus. Ennek bizonyításánál használjuk az Euler-féle φ-függvény
összegezési képletét, hogy megadjuk a d-edrendű elemek számát.
A 2. előadás kézzel írott jegyzete.
Kapcsolat a körosztási polinomokkal: a primitív gyökök
modulo p éppen a modulo p vett p-1-edik
körosztási polinomnak a gyökei a Zp testben. Az
index (diszkrét logaritmus) fogalma, indextáblázat készítése. A
primitív gyök alkalmazása kvadratikus maradékok keresésére. Magasabb
fokú biom kongruenciák megoldása az indextábléat
segítségével.
3. További diofantikus
egyenletek. Gauss-egészek. Az x2 -
y2=n diofantikus egyenlet megoldhatósága,
megoldásszáma. A probléma megközelítésének kulcsa az n szám
faktorizációja. Az x2 + y2=n diofantikus
egyenlet megoldhatósága: a kifejezésben a bal oldalnak
csak C-ben létezik faktorizációja: Gauss-egészek fogalma. Cél:
SZAT bizonyítása a Gaussz-egészek körében. Ehhez: számelméleti
fogalmak szokásos gyűrűkben. A norma fogalma, multiplikativitása a
Gauss-egészek körében. Egységek a Gauss-egészeknél.
A 3. előadás kézzel írott jegyzete.
Ha egy Gauss-egész normája prímszám, akkor a Gauss-egész fölbonthatatlan. Példák Gauss-felbonthatatlanokra. Számelmélet alaptétele Gauss-egészekre, a bizonyítás menetének vázolása. Normára való indukcióval bizonyítjuk a felbontás létezését. A felbontás egyértelműségéhez bizonyítjuk a maradékos osztás létezését. Az osztás elvégezhetőségének geometriai bizonyítása. Euklideszi algoritmus, kitüntetett (legnagyobb) közös osztó, a felbonthatatlanok prímtulajdonságúak, az alaptétel egyértelműségi része. Alkalmazás pitagoraszi számhármasokra (csak a jegyzetben). A Gauss-prímek leírása. Gauss-prímhez tartozó prímszám. A 2 faktorizációja. A 4k-1 alakú prímszámok Gauss-prímek is. A 4k+1 alakú prímek két, egymással konjugáĺt, de nem asszociált Gauss-prím szorzatára bomlik. Ezzel az összes Gauss-prímet megtaláltuk.
A 4. előadás kézzel írott jegyzete.
A Gauss-egészek kanonikus alakja. Osztók leírása, osztók száma (4-es csoportokban az egymással asszociáltak). A kétnégyzetszám-tétel: az x2+y2=n egyenletnek pontosan akkor van megoldása, ha n kanonikus fölbontásában (Z-ben) a 4k-1 alakú prímek páros kitevőn szerepelnek. Képlet a megoldások számára. Háromnégyzetszám-tétel, négynégyzetszám-tétel (BN). Mese a Waring-problémakörről (számok előállíthatósága k-adik hatványok összegeként). A Catalan-sejtés és egy (annál könnyebb) speciális diofantikus egyenlet (bizonyítás a jegyzetben).
Az 5. előadás kézzel írott jegyzete.
4. Számelmélet gyűrűkben. Maradékos osztás "szép" gyűrűkben: az euklideszi gyűrűk fogalma. Példák, a Gauss-egészek és hasonló gyűrűk. Ideálok gyűrűben, generált ideál, főideál, a főideálok elemeinek explicit leírása. Főideálgyűrűk. Minden euklideszi gyűrű főidálgyűrű. Z[x] nem főideálgyűrű. Az oszthatóság kifejezése főideálokkal. Mikor főideál az (a,b) ideál? Ha az előbbi ideál főidéal, akkor a generátoreleme a kitüntetett közös osztó.
A 6. előadás kézzel írott jegyzete.
Ideálok halmazaira vontakozó maximumfeltétel, illetve láncfeltétel. A
SZAT szükséges és elégséges feltétele. Következmény: főideálgyűrűkre
(és így euklideszi gyűrűkre is) teljesül a SZAT. Fontos gyűrűosztályok
egymáshoz való viszonya, példák.
5. Faktorgyűrűk, homomorfizmusok. Műveletek ideálok szerinti
mellékosztályokkal. Az I ideál szerinti faktorgyűrű fogalma.
A 7. előadás kézzel írott jegyzete.
Gyűrűk homomorfizmusai, mag és kép. A homomorfizmustétel, természetes
homomorfizmus. A komplex számtest mint faktorgyűrű, számolás a
polinomgyűrűk faktorgyűrűiben. A homomorfizmustétel ideálokra. Kritérium
arra, hogy egy faktorgyűrű mikor test.
6. Testbővítések, testek konstrukciója.
Q egyszerű algebrai bővítéseinek szerkezete,
fölírás faktorgyűrűként.
Tetszőleges T test fölöti f irreducibilis polinom esetén a
T[x/(f) faktorgyűrű olyan test, amely tartalmazza az
eredeti T testet, és az f polinomnak van benne gyöke.
A 8. előadás kézzel írott jegyzete.
Összegezés: minden T testhez és minden T fölötti f irreducibilis polinomhoz van olyan bővebb test, amelyben f-nek van egy α gyöke. Ebben a testben a T(α) résztest izomorf lesz a T[x]/(x) faktorgyűrűvel. Olyan bővebb test is van, amely fölött az f polinom lineáris faktorokra bontható (azaz a polinom minden gyöke benne van). A legszűkebb ilyen testet nevezik a polinom felbontási testének. Alkalmazás véges testekre: újabb testeket konstruálunk, amelyekben egy-egy irreducibilis polinomnak már lesz gyöke. Ismétlés a karakterisztikáról. Véges testek karakterisztikája prímszám. Véges test elemszáma prímhatvány. Példák. Minden q=pn prímhatványra van q-elemű test, és ez izomorfia erejéig egyértelmű (az egyértelműséget nem bizonyítjuk). Ezt a testet Fq jelöli. Fq konstrukciója: olyan testet keresünk, mely tartalmazza Zp-t, és benne az f=xq-x polinom lineáris faktorokra bomlik. Ebben a bővebb testben az f gyökei résztestet alkotnak. Nincs többszörös gyök (kritérium a polinom deriváltjával). Fq szerkezete: az összeadásra nézve Zpn-nel izomorf (mert vektortér). A multiplikatív csoportja ciklikus. Fq előáll mint a Zp egyszerű (azaz egy elemmel) vett bővítése.
A 9. előadás kézzel írott jegyzete.
Összefoglaló a véges testek szerkezetéről. Ha f egy irreducibilis n-edfokú polinom Fp[x]-ben, akkor az lineáris faktorok szorzatára bomlik Fq[x]-ben, ahol q=pn, azaz ha a prímtesthez hozzávesszük egy n-edfokú polinom egyetlen gyökét, akkor minden n-edfokú irreducibilis polinom minden gyökét is megkapjuk ("Egyet fizet, mindent vihet.". Szükséges és elégs'ges feltétel arra, hogy egyik véges test résztestként benne legyen egy másikban. Az irreducibilis polinomok megszámolása. Számolás véges testben: mint korábban a testbővítéseknél, akmikor egyetlen algebrai elemmel bővítettük az alaptestet. Példa inverz kiszámolására. – 7. A prímszámok eloszlásáról. 1) Végtelen sok prím van (Euklidész bizonyítása). 2) Dirichlet-tétel speciális esetei, illetve az általános eset: mikor van egy számtani sorozatban végtelen sok prímszám? (A bizonyítás nehéz.) 3) A prímszámok reciprokösszege végtelen. Erdős Pál bizonyítása.
A 10. előadás kézzel írott jegyzete.
A prímszámok eloszlása: a nagy prímszámtétel (BN). Alsó és fölső becslés a prímek számára, az alsó becslés bizonyítása. Egyéb eredmények a prímek eloszlásáról: Csebisev tétele. A Goldbach-sejtések, Helgott tétele (BN). Mese a prímek alkalmazásáról a titkosításoknál; prímtesztek.
A 11. előadás kézzel írott jegyzete.
A teljes félév kézzel írt anyaga (az egyes előadások összefűzve egy file-ba).